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  • Courbe régulière

    Formulaire de report

    Définition

    Définition :
    Une courbe \(\gamma:I\to{\Bbb R}^2\) est dite régulière en \(t\in I\) si \(\gamma'(t)\ne0\)
    Dans ce cas, la droite passant par \(\gamma(t)\) et de vecteur directeur \(\gamma'(t)\) est appelé la tangente de la courbe paramétrée en \(\gamma\) en \(t\)
    Si de plus \(\gamma\) est injective, on parle de la tangente en \(\gamma(t)\)

    (Tangente (géométrie), Injection)

    Définition :
    Une courbe est dite régulière si elle est régulière en toute valeur de \(t\)

    Propriétés

    Proposition :
    Toute courbe régulière possède un reparamétrage par la longueur d'arc

    (Reparamétrage, Longueur d'une courbe paramétrée (maths) (Courbe paramétrée par la longueur d'arc))

    Exercices

    Consigne: Soit \(\mathcal R=(O,\vec u,\vec v)\) un repère orthogonal
    Montrer que la paramétrisation \(\gamma:\theta\mapsto(\cos\theta,\sin\theta)_\mathcal R\) est régulière
    Sous quelles conditions est-elle par la longueur d'arc ?

    Dérivée non nulle \(\to\) régulière
    $$\gamma^\prime(\theta)=(-\sin\theta,\cos\theta)\ne0$$

    On cherche dérivée \(=1\) ! Attention, le repère n'est pas orthonormé
    Il faut que \(\lVert\gamma^\prime(\theta)\rVert=1\) $$\lVert\gamma^\prime(\theta)\rVert=\sqrt{\lVert\vec u\rVert^2\sin^2\theta+\lVert\vec v\rVert^2\cos^2\theta}$$

    Conclure avec des valeurs particulières de \(\theta\)

    Pour \(\theta\in\{0,\frac\pi2\}\), cela donne \(\lVert \vec u\rVert=\lVert\vec v\rVert=1\)


  • Rétroliens :
    • Arc
    • Courbe - Courbe paramétrée
    • Courbe singulière
    • Paramétrisation barycentrique
    • Tangente (géométrie)